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二阶电路的暂态过程
接线图
2023年07月21日 22:50 163
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二阶电路 用二阶微分方程描述的电路，二阶电路一般含有两个储能元件。
图示电路中，
时开关接通。求
RLC串联电路的零输入响应。
列
后KVL方程 
将元件方程
代入得描述
的二阶常系数线性齐次微分方程
两个初始条件
的二阶常系数线性齐次微分方程定解 
由于电路为零输入响应，因此
的强制分量（特解）为零，即
下面求齐次微分方程通解
特征方程及特征根为
； 
令
代入上式，得到两个特征根
， 
上式表明，特征根
、
决定于电路参数(R、L、C)。而电路参数可任意取值，所以
、
可为相异实根、二重根或共轭复根。相应的，方程通解将具有不同的函数形式。
1.
，即电路参数满足
此时
、
为两个相异负实根(设R、L、C均为正值)。方程通解为
其中A1和A2须通过初始条件确定
解得
，
将A1、A2代入得响应
根据电容、电感的元件方程，考虑到
可得
由于电路中无独立电源，所以响应
、
、
均为零输入响应，因而只含自由分量。 
时RLC串联电路零输入响应波形如下——过阻尼过程
2.
，即电路参数满足
此时
、
为一对共轭复数，它们分别写成
；
式中，
方程通解为
其中A和
须由初始条件确定：
解得
代入得响应
根据元件方程，得
下图画出了
时RLC串联电路零输入响应
、i及
的波形图——欠阻尼过程
3.
，即电路参数满足
此时
和
为两个相等负实根，即特征方程存在二重根
方程通解为
其中A1、A2须由初始条件确定：
解得
代入通解得
以及
由于
属于临界状态。此时电阻R称为临界电阻。临界情形仍是非振荡情形。
例1.图(a)所示电路，设
。求
的单位阶跃特性
。
解：设
A。列写关于
的微分方程。根据KCL，得
(1)
根据KVL，得
(2)
将式(2)对时间求导，再将式(1)代入求导后的方程，得
(3)
代入已知数
(4)
由零状态电路得初始条件：
(5)
下面求满足方程(4)和初始值(5)的解答。
图 (a)所示电路在
作用下存在稳态解。
的稳态分量为
。为求自由分量须写出方程(4)的特征方程并求出特征根
(6)
为一对共轭复根，故
自由分量形式为
(7)
与
相加便是方程(4)的通解
(8)
由初始条件式(5)确定B和
：
解得
(9)
将
、
代入式(８)得到满足方程(4)及初始值(5)的解，即响应
A 
(10)
因为电路为零状态，
时
,可以用单位阶跃函数表示
时的情况。这样
的统一表达式是
A (11)
上述
是在单位阶跃电流源作用下产生的响应，故
的单位阶跃特性
的变化规律与
相同，但
无量纲。即
(12)
的波形如图 (b)所示。
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