一阶电路零状态响应

接线图 2023年07月21日 22:51 195 admin

当动态电路中所有储能元件都没有原始储能 ( 电容元件的电压为 0 ，电感元件的电流为 0) 时，换路后仅由输入激励（独立源）产生的响应称为零状态响

应。

RC电路的零状态响应

所谓RC 电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，在此条件下，由独立源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。分析 RC 电路的零状态响应，实际上是分析电容元件的充电过程。如图1 所示RC 电路，时刻，开关断开，电路处于零初始状态；时开关闭合。其物理过程为：开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，电容相当于短路，此时，充电电流，为最大；随着电源对电容充电，增大，电流逐渐减小；当时，，，充电过程结束，电路进入另一种稳态。

一阶电路零状态响应第9张

图1 RC电路的零状态响应

当时，由 KVL定律可得 :

把，代入得

( 1 )

此方程为一阶线性非齐次微分方程，初始条件为。方程的解由非齐次微分方程的特解和对应齐次微分方程的通解组成，即

( 2 )

不难求得其特解为：（3 ）

而对应的齐次方程的通解为：

( 4 )

其中， A 为待定常数 , 为 RC 电路时间常数。故，

(5 )

代入初始条件，可得。

所以（ 6 ）

电路中的电流为：（ 7 ）

和的零状态响应波形如图 2 所示。可见：在直流电压源激励下，电容电压不能突变，须经历一个动态的充电过程，充电速度取决于时间常数，当电容电压达到电源电压时充电结束，电路进入稳态；电容电流换路瞬间发生突变，随充电过程的进行逐渐下降，下降速度取决于时间常数，充电结束后，电流为零，电路进入稳态。充电过程中电容元件获得的能量以电场能量形式储存。

一阶电路零状态响应第35张

图 2 和的零状态响应波形

图 3 RL电路的零状态响应

RL电路的零状态响应

如图 3 所示，在换路前 ( t<0) 开关处于断开状态，电感元件 L 处于零初始状态，即。 t=0时刻开关闭合瞬间，电路即与一恒定电压为的电压源接通，此时相当于接入一个阶跃电压。

时 , 根据 KVL 基尔霍夫电压定律 :

把，代入并整理得

( 8 )

这也是一个一阶非齐次微分方程，其初始条件为： .

与 RC 电路相似，电流的解可分为微分方程的特解和通解两部分。容易求得特解，同解可表示为。故

代入初始条件，得。所以

一阶电路零状态响应第55张 (8 )

电感两端的电压为

( 9 )

和的零状态响应随时间的变化规律如图 4 所示。

对比图 2 与图 4 可见，一阶 RC 电路与一阶 RL 电路有强烈的对偶性：在直流电压源激励下，电感电流不能突变，须经历一个动态充电过程，变化速度取决于时间常数，当电感电流达到时电路进入稳态；电感电压在换路瞬间发生突变，随充电过程的进行逐渐下降，下降速度取决于时间常数，充电结束后，电压为零，电路进入稳态。充电过程中电感元件获得的能量一阶电路零状态响应第64张以磁场能量形式储存。