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电路的初始状态与方程的初始条件

接线图 2023年07月21日 22:53 220 admin
    动态电路在没有外加激励的条件下，仅靠电路中动态元件的初始储能而引起的电路响应，称为“零输入响应”。

1、RC 电路的零输入响应

    图示电路，在 t < 0 ，开关一直打在 U 0 ，在 t ＝ 0 时刻，开关打向电阻 R ，即换路。问在 t > 0 ， u C 、 u R 、 i 如何变化？

    电路的初始状态与方程的初始条件 第1张

    分析：

      t < 0 时，u C (t) ＝ U 0 ；

      t ＝ 0 时，在换路过程中，电容极板上没有电荷损失，uC不变，即：

          u C ( 0+ ) ＝ u C ( 0－ ) ＝ u C ( 0 )

      t > 0 ，即开关打向 R 后，电容 C 通过 R 放电，形成放电电流 i ，并在 R 上产生电压降 uR ，随着 C 上电荷的减少， uC 、uR 、i 都在不断减小，直至为 0 。

      只要求得 u C ，其它参量可通过下式求得：

电路的初始状态与方程的初始条件 第2张

    ① 写出电路的输入输出方程：

电路的初始状态与方程的初始条件 第3张
    ② 求解上述一阶线性齐次常系数微分方程：

电路的初始状态与方程的初始条件 第4张
    式中，τ＝RC，称为时间常数，放电常数。

电路的初始状态与方程的初始条件 第5张
    结论：电容放电随时间变化呈指数形式衰减。其衰减的快慢取决于时间常数τ＝RC。τ越大，衰减越慢，τ越小，衰减越快。

    2、RL 电路的零输入响应

      图示电路，在 t < 0 ，开关一直打在电流源 I0 ，电感电流为 I0。在 t ＝ 0 时刻，开关打向 R，即换路。问在 t > 0， uL 、 uR 、 i 随时间如何变化？

      电路的初始状态与方程的初始条件 第6张

      分析：

        t < 0，L 中电流一直为 I0 ；在 t ＝ 0 时刻换路，由于电压 uL 有限 ( ＝0 ) ，i 不能跃变，故有：

            i ( 0+ ) ＝ i ( 0－ ) ＝ i ( 0 ) ＝ I 0

      既然知道 i 的初始值，就以 i 为变量写出微分方程式。求得 i 后，可用下式求得其它电参量：

    电路的初始状态与方程的初始条件 第7张

      写出KVL方程，并求解：

    电路的初始状态与方程的初始条件 第8张
      式中，τ＝L/R 为RL电路时间常数。

      电路的初始状态与方程的初始条件 第9张

      结论：电感中由初始储能引起的电流响应随时间变化呈指数形式衰减。其衰减的快慢取决于时间常数τ＝L/R。τ越大，衰减越慢，τ越小，衰减越快。uL 与标定方向相反，其随时间变化也呈指数形式衰减。在此情况下，起电压源作用。

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